ОПТИМИЗАЦИЯ ТРЕБОВАНИЙ К НАДЕЖНОСТИ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

В соответствии с общей постановкой (6.6) задачи опти­мизации надежности основных элементов ЛА рассмотрим подроб­нее структуру целевой функции. В этой структуре необходимо от­разить связь затрат на разработку, производство и эксплуатацию каждого основного элемента изделия с надежностью Р э г, проявляе­мой в условиях эксплуатации, и временем Ти необходимым на его создание.

Как правило, ограничение на время создания ЛА считается не­существенным и рассчитываемая величина 7ла носит справочный характер. Для построения искомой функции Сі(Рзі), связывающей затраты с надежностью основного элемента, необходим глубокий анализ процессов создания и эксплуатации, а также большой ста­
тистический материал по аналогичным образцам. На ранних этапах проектирования, когда разрабатывают технические задания на ос­новные элементы ЛА, чаще всего задаются той или иной аналити­ческой формулой, отражающей рост затрат С, с увеличением надеж­ности Р Зі, Причем так, ЧТО С Приближением Р Зі к предельно до­пустимому значению Р Эгоо или к единице величина Сі стремится к бесконечности.

В первом Приближении МОЖНО принять, ЧТО надежность Рлг ОС­НОВНОГО элемента ЛА, достигнутая в условиях летной отработки, совпадает с его надежностью Рэ і в конце этапа эксплуатации. При этом задачу (6.6) сводят к оптимизации надежности основных эле­ментов, которую требуется обеспечить к моменту окончания разра­ботки ЛА.

С учетом высказанного выше допущения, а также опуская огра­ничение на время разработки или создания ЛА, задачу (6.6) мож­но представить в форме:

С, ла=2 (/>„)=шіп; (6.29)

i=i

ПР*1>р*.тр> (6-30)

/=1

где Сц — стоимость разработки /-го основного элемента ЛА.

Из формул (4.9)4-(4.12) видно, что стоимость разработки ос­новных элементов ЛА при задании их определяющих характеристик зависит от числа образцов, выделяемых для стендовых и летных испытаний,’причем доля затрат, приходящаяся на летные испыта­ния, при сложившейся практике отработки является преобладаю­щей. Этот факт подтверждается также тем, что при расчете общей стоимости разработки ЛА затраты на стендовые испытания ос­новных элементов, как несущественные, вообще не учитывают [см. 4.15)]. Таким образом, можно полагать, что

Си — СюП^, (6.31)

где Сг о—средняя стоимость отработки /-го основного элемента, приходящаяся на одно его летное испытание в составе ЛА; Пш — число летных испытаний ЛА, необходимых для отработки /-го ос­новного элемента изделия..

Используя выражения (6.10) и (6.11), связывающие на основа­нии модели (5.76) число испытаний с надежностью изделия, преоб­разуем зависимость (6.31) к виду

(6.32)

где 3jj> Рціоо, Рліо — известные параметры модели роста надежно­сти, характеризующие летную отработку /-го основного элемен­та ЛА.

Опуская для упрощения в дальнейших формулах индекс «л» в соответствии с (6.29), получим искомую целевую функцию, связы­вающую затраты на разработку ЛА с надежностью его основных элементов:

У с|01п, (6.33)

ІД Woo W

1 = 1

где Сго=Сго/Э,-.

Нелинейное ограничение (6.30) без ущерба для точности реше­ния задачи при РтР^0,85, что всегда выполняется на практике, мо­жет быть заменено линейным. Действительно, прологарифмировав левую и правую части неравенства (6.30), получим

2 lnP,.>lnPTp. * (6.34)

;=i

Ввиду ТОГО ЧТО Pi и Ртр близки к единице можно принять, что ІпР,— — (1—Pi)-, In Ртр«—(1—РТр). При этом неравенство (6.34) принимает вид

v (1-Р;)<1_Ртр. (6.35)

1=1

Наибольшая ошибка при переходе от ограничения (6.30) к (6.35) возникает при малых k и РТр. Однако даже при k = 2 и Ртр=0,9 ошибка, вызванная линеаризацией, составляет 0,8% от (1—Ртр) или 0,07% от Ртр, а при k=2 и Ртр=0,8 — соответственно 4 и 0,7%.

Таким образом, с учетом зависимостей (6.29), (6.30), (6.33) и (6.35) задачу оптимизации требований, предъявляемых к надежно­сти основных элементов ЛА, можно представить в виде:

2 Cl0 In [(Р(00 — Ріо)/(Ріоо — Р;)]=min; (6.36)

г=і

(6.37)

/=1

0<Pi<Piao (/=1,2, …. Л). (6.38)

Таким образом, имеется задача нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями. Заме­тим, что ограничения (6.38) учитывают аналитической формой целевой функции, так как логарифм отрицательного числа не су­ществует, а ограничение (6.37), представленное в виде неравенства, может быть заменено равенством, так как искомый минимум целе­вой функции возможен лишь на границе. Физически трудно пред­ставить себе такие условия, при которых для обеспечения более высокой, чем Ртр, надежности ЛА потребовались бы меньшие за­
траты средств. Корректность замены неравенства (6.37) равен­ством можно подтвердить не только ссылкой на физические сообра­жения, но и доказать более строго, однако в рамках данного учеб­ного пособия это, по-видимому, нецелесообразно.

С учетом сделанных замечаний задача принимает вид:

і РІоо—- РІ0 ,

С to In —’——- =min;

Р^—Pi

(6.39)

2 0-/>f)=i-/V

j=i

В такой форме оптимальные значения Pi можно найти обобщен? ным методом неопределенных множителей Лагранжа. Функцию Лагранжа записывают следующим образом:

где К — неопределенный множитель Лагранжа.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

дЦдРі=0 (/= 1,2,…,*);

дЦд=0.

функцией (6.40)

дЦдР, = Сг0/(Р/оо-Рг)+Х (i=l,2,…, k); (6.42)

dL/dl=-Prp-2 (1 — Pi)- (6.43)

і-1

Решение системы уравнений

СІО/(Ягоо-£,)+*=0 (/=1,2, …,£); (6.44)

‘-ргР-І. 0-Рі)=° (6-45)

і-1

позволяет найти аналитическое выражение для оптимальных зна­чений Pi. На основании (6.45)

^Pt=PT р-1+£, (6.46)

а из выражения (6.44)

Рі—Ріп -|- (C/q/A) .

Суммируя левую и правую части (6.47) по і от 1 до k, имеем

К R К

Приравнивая правые части выражений (6.46) и (6.48), получим выражение для неопределенного множителя:

k _

2с«-о

г=1

(і-Ятр)-2 О-^/со) г=1

Подставляя зависимость (6.49) в (6.47), после элементарных преобразований окончательно найдем для основных элементов ЛА искомые оптимальные значения требуемой надежности:

Pt=Ploo-(ci0£ Cl0) [(1 — PJ-2 (1 — Р, ос)] — (6.50)

Проанализируем полученное решение. Оптимальное значение Pi лежит на интервале (0; Р,-0о) и линейно зависит от величины Сю, т. е. отношения средней стоимости Сі о одного испытания ^коэф­фициенту эффективности Эг опытной отработки. Параметр С, о ха­рактеризует удельную стоимость прироста надежности изделия, и чем эта величина меньше, тем выше должно быть оптимальное зна­чение требуемой надежности. Другими словами, при фиксирован­ной требуемой надежности всего ЛА необходимо иметь высокую на­дежность тех основных элементов, отработка которых с учетом эффективности роста надежности обходится дешевле. Выражение в квадратных скобках (6.50) характеризует удаление требуемой на-

к

дежности изделия Ртр от предельно возможной П Pino при задан-

/=1

ных основных элементах. Чем дальше отстоит требуемая надеж­ность от предельно возможной, тем ниже при прочих равных усло­виях оптимальное значение Р,-.

Введем обозначения:

1 — ^тр=Флс„; 2 (1 — Pio°)=Qco-,

(6.51)

где <2доп—допустимая вероятность отказа (ненадежность) ЛА; Qoo — предельно малая вероятность отказа (ненадежность) ЛА.

С учетом (6.51) формула (6.50) принимает вид

Р,=Р«оо — с;о(<эдоп—Qoo). (6.52)

Наконец, если ДЛЯ всех ОСНОВНЫХ элементов изделия Pico=l, (т. е. Qoo=0), то выражение (6.52) становится еще проще:

Pi^l-C’toQ^. (6.53)

Проиллюстрируем решение задачи примером.

Пусть известно, что ЛА состоит из пяти последовательно, в смысле надеж­ности, соединенных основных элементов, каждый из которых характеризуется следующими параметрами: Рісс =0,99; Э,=0Д; Сю=1,0; Сж—1,5; С. о=2,0; С40— =2,5; С5о=Э условным единицам. Необходимо найти оптимальные требования к надежности основных элементов, при которых надежность ЛА будет не менее 0,90.

В соответствии с выражениями (6.51) имеем: фЯОп=1—0,90=0ДО;

<?«,=—І] (1 -0,99) = 0,05; 1 = 1 <4 = 0,15; Сд0 = 0,20; <4 = 0,25; <4=0,30. На основании зависимости (6.50) найдем: Л) =0,99—0,10(0,10—0,05) =0,9850; Р2=0,9825; Р3= 0,9800; А=0,9775; Ps=0,9750.

Полученное выше аналитическое решение задачи можно распро­странить и на некоторые другие случаи. При постановке задачи оп­тимизации требований, предъявляемых к надежности основных элементов ЛА, Приняли, ЧТО Рлг = Рзі. Это довольно сильное допущение, позволяющее вместо процесса создания и эксплуатации ЛА рассматривать только этап его разработки, могло бы и не ис­пользоваться. Если бы удалось чисто формально выразить или ап­проксимировать функцию затрат С, на разработку, производство и эксплуатацию основного элемента в зависимости от его надежности Рэг в условиях эксплуатации в виде

Ci=at In [bil(di — Рэг)], (6.54)

где щ, bi, di — статистические коэффициенты, то получили бы с точностю до обозначений решение (6.50).

Найденные выше результаты можно также использовать для оптимизации требований к надежности основных элементов ЛА на любом этапе их отработки (НАИ, НКИ, ЛИ, отладки серийного производства, если известны: требования к надежности изделия в конце этого этапа; параметры, характеризующие начальную и пре­дельную надежности каждого элемента; стоимости и эффективно­сти их отработки. Например, если задана требуемая надежность ЛА к моменту окончания стендовых испытаний основных элементов и известны перечисленные выше условия их отработки, то опти­мальная требуемая надежность каждого элемента находится также из выражения (6.50).

Заметим, что, зная оптимальное требуемое значение надежно­сти основного элемента Pi при заданных величинах 3it Pi0, Pioo, можно определить и оптимальный объем испытаний щ на соот­ветствующем этапе, так как на основании использованной модели (5.76) имеем

. (6-К)

‘гос

При решении задачи оптимизации программы опытной отработ­ки ЛА могут быть учтёны и другие факторы (см. § 6.4).